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λ,可以定义如下的一种移动:
(1)选取任意两只跳蚤,设它们分别位于点a和b,且a位于b的左边;
(2)令位于点a的跳蚤跳到该直线上位于点b右边的,使得/ab=λ.
试确定所有可能的正实数λ,使得对于直线上任意给定的点及这n只跳蚤的任意初始位置,总能够经过有限多个移动之后令所有的跳蚤都位于右边.
仔细的看完这个题目,出现在林木脑海中的第一个疑问就是,原来白俄罗斯也有跳蚤的吗?
抛掉脑子那些奇怪的想法,言归正传!
思考了一会之后,林木开始在草稿纸上动笔。
首先要让跳蚤尽可能远的跳向右边,需要的策略就是在每一个移动中都选取最左边的跳蚤所处的位置作为点a,最右边的跳蚤所处的位置作为点b。
按照这一策略,假设在k次移动之后,这些跳蚤之间距离的最大值为d,而任意两只相邻跳蚤之间距离的最小值为g,这样显然就有:d≥(n-1)g,再经过……不多时,林木已经渐渐推导出来答案。
“所求λ的可能值为所有不小于1/n-1的实数!”
林木盯着自己的推导过程陷入了沉思,随即缓缓摇头,这个推导确实是非常标准的证明方式,但是他却不太满意,因为这样仅仅是个局部证明。
想到这里,林木抬头看了一眼前方的时钟,此时考试时间已经过去了半个小时,还有四个小时,他决定忘记之前的方法,使用另一种整体性证明的方式,再来证明一次。
皱着眉头重新盯着题目仔细考量。
2分钟、5分钟、10分钟,林木没有动笔,只是盯着题目,他没有陷入困境,只是在用这段时间来忘记上个方法。
有了!
如果考虑当前最右边的跳蚤到其它所有跳蚤距离之和,然后考虑移动之下,和的变化情况,那么所有的情况都可以被考虑到,这道题就不需要像之前那样以点破面,而是能全面瓦解。
方法找到了,林木不再犹豫,迅速在草稿纸上写下公式:
将当前最右边的跳蚤到其它所有跳蚤距离之和记为s,同时……
5分钟之后,一个全新的解法,展现在了草稿纸上,林木稍稍检查了一番后满意的点了点头,这样的证明方式,不仅更加全面,也更加简洁。
确定无误,林木赶快将答案誊写到了试卷上。
再抬头一看时钟,居然已经过去了一个小时,林木的心里压力倍增,同时暗暗感叹道:不愧是i啊,这才第一道题就这么有难度,不知道明天的最后一道题,被称为“传奇第六题”的死亡之题又会难成什么样?
林木此时是又有压力,又感到兴奋,这可不就是数学的魅力嘛。